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Kapitel 5

Inhalt

• Syntax-Kurzübersicht der besprochenen Maple-Befehle

Syntax-Kurzübersicht der besprochenen Maple-Befehle

Der Aufbau dieser Übersicht:

Befehl

Funktion des Befehles

Syntax

Nähere Informationen

Beispiel(e)

?

Komplette Hilfe zu einem Befehl

?befehl

ohne Semikolon abzuschließen

?solve

??

Syntax eines Befehles

??befehl

ohne Semikolon abzuschließen

??solve

???

Beispiele zu einem Befehl

???befehl

wie example, ohne Semikolon abzuschließen

???solve

allvalues

Ermittlung der numerischen Lösungen bei einer RootOf-Darstellung

allvalues(ausdruck);

solve(x^5+x^4); -> RootOf(_Z^5+_Z^4-1); allvalues(%); -> -1.07839 usw.

argument

Phasenwinkel eines komplexen Ausdruckes

argument(ausdruck);

argument(2+I*3); -> arctan(3/2)

assign

Zuweisung der Werte einer Lösungsmenge an die enthaltenen Variablen

assign(lösungsmenge);

sol:=solve(x+1, {x}): x; -> x; assign(sol): x; -> -1

binomial

Binomialkoeffizient

binomial(n, k);

n über k

binomial(4, 2); -> 6

changevar

Substitution von Ausdrücken

changevar(substitutionsgleichung, ausdruck, substitutionsausdruck);

'substitutionsgleichung' ist eine Gleichung der Form 'zu substituierender ausdruck = Substitutionsausdruck', 'ausdruck' ist die Gleichung, in der substituiert wird

i1:=Int(2*x*sin(x^2+1), x): changevar(x^2+1=z, i1, z); -> Int(sin(z), z);

value(%); -> -cos(z); changevar(z=x^2+1, %, x^2+1); -> -cos(x^2+1)

Teil des Paketes 'student'

coeffs

Ermittlung der Koeffizienten eines Polynomes

fs(polynom [, variablen]);

Wenn zweiter Parameter angegeben, dann Ausgabe der Koeffizienten nur dieser bestimmten, sonst aller; Ausgabe in aufsteigender Reihenfolge der Potenzen des Polynomes

coeffs(x^2-3*x^5+x, x); -> 1, 1, -3

collect

Zusammenfassung eines Polynomes in bezug auf eine bestimmte Variable

collect(ausdruck, variablen);

p:=5*x+a*x-a; collect(p, x); -> (5+a)*x-a collect(p, a); -> (x-1)*a+5*x

completesquare

Quadratische Ergänzung eines Polynomes vom Grade 2

completesquare(polynom [, x]);

Zweiter Parameter bei Polynom mit mehreren Unbestimmten

completesquare(x^2+2*x+2); -> (x+1)^2+1

Teil des Paketes 'student'

conjugate

Konjugation eines komplexen Ausdruckes

conjugate(ausdruck);

conjugate(2+I*3); -> 2-3*I

constants

Ausgabe aller vordefinierten Konstanten

constants;

I fehlt, da in Maple anderweitig definiert

constants; -> false, gamma, infinity, true, Catalan, E, FAIL, Pi

D

Differentiationsoperator

D[n](funktion);

Berechnung der Ableitung einer Funktion; bei partiellen Ableitungen gibt [n] das n-te Argument an, nach dem abgeleitet wird; 'funktion' ist der Funktionsname ohne seine Argumente; Ergebnis ist eine Pfeilzuweisung; mit '(D@@n)' Berechnung der n-ten Ableitung

f:=x->x^3: f1:=D(f); -> f1:=x->3*x^2; f2:=(D@@2)(f); -> 6*x;

f:=(x,y)->x^3*y^3: f1x:=D[1](f); Ableitung nach erstem Argument (hier x)

degree

Ermittlung des (höchsten) Grades eines Polynomes

degree(polynom [, variable]);

Zweiter Parameter bei Polynomen mit mehreren Unbestimmten

degree(x^2-3*x^5+x); -> 5

denom

Ermittlung des Nenners eines Bruches

denom(bruch);

'bruch' kann auch eine Funktion sein, die einen Bruch darstellt; siehe auch: numer

denom(5/8); -> 8

diff

Berechnung der Ableitung eines Ausdruckes

diff(ausdruck, variable); diff(ausdruck, variable$n);

'variable' gibt die Variable an, nach der abgeleitet werden soll, mit 'variable$n' kann man direkt die n-te Ableitung berechnen

diff(sin(x), x); -> cos(x); diff(x^3, x$2); -> 6*x;

diff(x^2*y^2, y); -> x^2*2*y

divide

Echte Teilbarkeit von Polynomen

divide(poly1, poly2 [, ergebnis]);

Ermittelt den Wahrheitswert wahr (true) oder falsch (false); wenn dritter Parameter angegeben, dann Zuweisung des Ergebnisses an 'ergebnis', falls divide true ermittelt

divide(x^2+2*x+1, x+1, erg); -> true; erg; -> x+1

evalb

Ermittlung des Wahrheitswertes eines Ausdruckes

evalb(ausdruck);

evalb(1<2); -> true

evalf

Auswertung eines Ausdruckes in Fließkommaarithmetik

evalf(ausdruck [, genauigkeit]);

Wenn 'genauigkeit' weggelassen wird, dann wird mit der in Digits eingestellten Anzahl von Stellen gerechnet

evalf(3/5, 30);

example

Beispiele zu einem Befehl

example(befehl);

wie ???

example(solve);

expand

Ausmultiplikation eines Polynomes

expand(polynom);

expand((x-2)^2); -> x^2-4*x+4

factor

Faktorisierung eines Polynomes

factor(polynom);

factor(x^2-4*x+4); -> (x-2)^2

FPS

Reihenentwicklung

FPS(ausdruck, variable=stelle);

Ausgabe als Summe; in Release 3 im Unterpaket 'calculus' enthalten, in Release 4 in 'analysis'

with(share): readshare(FPS, calculus): FPS(1/x, x=1);

Teil des Paketes share/calculus

fsolve

Lösung von Gleichungen

fsolve(ausdruck, variable [, opt]), fsolve({gleichungen}, {variablen} [, opt])

Ermittlung der Fließkommalösungen; Optionen: complex - Ermittlung auch komplexer Lösungen, fulldigits - maximale Genauigkeit

fsolve(x^2=2, x);

has

Prüfung, ob in einem Ausdruck bestimmte Teile/Variablen vorkommen

has(ausdruck, teilausdruck);

Liefert als Ergebnis wahr (true) oder falsch (false)

has(5*x+a*x-a, a); -> true

Im

Ermittlung des Imaginärteiles eines komplexen Ausdruckes

Im(ausdruck);

Im(2+3*I); -> 3

info

Kurzbeschreibung eines Befehles

info(befehl);

info(solve);

int

Integration

int(ausdruck, variable); int(ausdruck, variable=a .. b);

Zur Berechnung des Flächeninhaltes in den Grenzen a und b zweite Form anwenden, a und b können beliebige Werte sein

int(2*x, x); -> x^2; int(sin(x), x=-Pi/2..Pi/2); -> 0, aber richtig: 2, daher Vorsicht bei Funktionen, deren Werte im Integrationsintervall positiv als auch negativ sind.

intercept

Ermittlung der Schnittpunkte einer Geraden mit anderen Geraden oder Koordinatenachsen

intercept(gleichung [, achse=wert]); intercept(gleichung1, gleichung2);

Wird nur eine Gleichung angegeben, dann wird der Schnitt mit der y-Achse (x=0) ermittelt

gl1:=y=4*x+1: intercept(gl, x=2); -> {x=2, y=0}

gl2:=y=x-2: intercept(gl1, gl2); -> {x=-1, y=-3}

Teil des Paketes 'student'

intparts

Partielle Integration

intparts(ausdruck, variable);

'ausdruck' in der Form 'Int(term, variable)'

intparts(Int(x*exp(x), x), x); -> x*exp(x)-Int(exp(x), x);

Teil des Paketes 'student'

iscont

Prüfung auf Stetigkeit eines Ausdruckes im angegebenen Intervall

iscont(ausdruck, variable=a .. b [, 'closed']);

bei Angabe von 'closed' (incl. Apostrophe) mit Prüfung der Intervallgrenzen

iscont(1/x, x=-1..1); -> false

Der Befehl muß vor Nutzung mit readlib geladen werden.

isolate

Auflösung einer Gleichung nach einer Variablen

isolate(gleichung, variable);

isolate(4+3*x=y*2^(1/2), y); -> y=-1/2*(-4-3*x)*2^(1/2)

Teil des Paketes 'student'

lcoeff

Koeffizient der höchsten Potenz in einem Polynom

lcoeffs(polynom [,variablen]);

Wird kein zweites Argument angegeben, dann Auswertung des gesamten Termes mit Berücksichtigung aller Unbekannten

lcoeffs(x^2-3*x^5+x); -> -3

ldegree

niedrigster Grad eines Polynomes

ldegree(polynom [, variablen]);

Angabe des zweiten Argumentes bei Polynomen mit mehreren Unbestimmten, Polynom kann auch negative Exponenten enthalten

ldegree(x^2-3*x^5+x); -> 1

lhs

Linke Seite einer Gleichung

lhs(gleichung);

siehe auch: rhs

lhs(4+3*x=y*2^(1/2)); -> 4+3*x

limit

Grenzwertberechnung

limit(ausdruck, x=stelle [, left oder right]);

Für 'stelle' kann auch '+infinity' oder '-infinity' eingesetzt werden; bei Angabe des dritten Parameters entweder links- oder rechtsseitiger Grenzwert

limit(1/x, x=0, left); -> -infinity; limit(1/x, x=infinity); -> 0

maximize

Ermittlung des Funktionswertes des Maximums eines Ausdruckes

maximize(ausdruck);

siehe auch: minimize

maximize(-x^3+3*x+4); -> 6;

Teil des Paketes 'student'

minimize

Ermittlung des Funktionswertes des Minimums eines Ausdruckes

miminize(ausdruck);

minimize(-x^3+3*x+4); -> 2

Teil des Paketes 'student'

normal

Zusammenfassung nicht-gleichnamiger Brüche

normal(bruch);

normal(3/x+4/x^2); -> (3*x+4)/(x^2)

numer

Ermittlung des Zählers eines Bruches

numer(bruch);

siehe auch: denom

numer(5/8); -> 5

op

Ermittlung aller Glieder eines Polynomes

op(polynom);

siehe auch: ?op für andere Anwendungen

op(x^2-3*x^5+x); -> -3*x^5, x^2, x

product

Produktfunktion

product(ausdruck, variable=a .. b);

Produkt einer Folge, mit a und b als positive oder negative ganze Zahlen incl. 0; auch 'infinity' möglich

product(2*n+1, n=1..10); -> 13749310575

quo

Ermittlung des Quotienten bei der Division zweier Polynome

quo(poly1, poly2, variable);

Ergebnis in Realzahlen; siehe auch: rem

quo(0.5*x^3-1.5*x+1, x^2+3*x+2, x); -> 0.5000*x-1.5000

Re

Ermittlung des reellen Bestandteiles eines komplexen Ausdruckes

Re(ausdruck);

Re(2+3*I); -> 2

related

Auflistung aller verwandten Befehle

related(befehl);

Querverweise

related(solve);

rem

Rest der Division zweier Polynome

rem(poly1, poly2, variable);

Ergebnis in Realzahlen; siehe auch: quo

rem(0.5*x^3-1.5*x+1, x^2+3*x+2, x); -> 4.000+2.0000*x

restart

Löschen aller Variablen, Rücksetzen von Maple zum Ausgangszustand

restart;

Wenn eine Initialisationsdatei vorhanden ist, dann werden die darin enthaltenen Einträge neu eingelesen

rhs

Rechte Seite einer Gleichung

rhs(gleichung);

siehe auch: lhs

rhs(4+3*x=y*2^(1/2)); -> y*2^(1/2)

select

Auswahl der Teile eines Ausdruckes, die einer bestimmten Bedingung genügen

select(bool, ausdruck [,args]);

'bool' muß eine Boolesche Funktion sein, z.B. type oder has; ausdruck kann auch in Form einer Liste vorliegen; zusätzliche Argumente können in args genannt werden

select(type, [-1, 0, 1], posint); -> 1; select(has, 5*x+a*x-a, a); -> a*x-a

seq

Folgenfunktion

seq(ausdruck, variable=a .. b);

mit a und b als ganze, positive oder negative Zahlen incl. 0

seq(1/x, x=1 ..3); -> 1, 1/2, 1/3

series

Reihenentwicklung

series(ausdruck, variable=stelle);

Je nach Typ von 'ausdruck' Berechnung der Taylor-, Laurent- oder allg. Potenzreihe an einer Stelle; Ausgabe mit Ordnungsterm O; siehe auch: FPS

series(sin(x), x=0); -> x-1/6*x^3+1/120*x^5+O(x^6)

shake

Umgebungsintervall einer Zahl

shake(zahl, n);

Mit 'n' wird die Breite des Intervalles um die Zahl nach 10^(-n+1) bestimmt

shake(E, 5); -> [2.718010 .. 2.718554]

Der Befehl muß vor Nutzung mit readlib geladen werden.

simplify

Vereinfachung von Ausdrücken

simplify(ausdruck [, art]);

Wenn ein zweites Argument genannt wird, erfolgt die Berechnung nach der speziellen Art, z.B. arctrig, erf, signum, etc.

simplify((x-1)^2+(x+4)^2); 2*x^2+6*x+17

slope

Steigung einer durch zwei Punkte definierten Geraden

slope([x1, y1], [x2, y2]);

slope([1, 5], [2, 9]); -> 4

Teil des Paketes 'student'

solve

Lösung von Gleichungen oder Gleichungssystemen

solve(ausdruck [, variable]), solve({gleichungen} [, {variablen}])

Wenn nur ein Term in 'ausdruck' angegeben, dann wird 'ausdruck' gleich Null gesetzt; auch Angabe von einfachen Ungleichungen möglich

solve(1/4*x^3-x, x); solve({x^2-y=2, x^3-4*y=4}, {x, y});

sort

Sortieren der Glieder eines Ausdruckes nach absteigender Reihenfolge

sort(ausdruck);

sort(x^2-3*x^5+x); -> -3*x^5+x^2+x

subs

Ersetzt in Ausdrücken alte durch neue Werte

subs(alterwert=neuerwert, ausdruck);

Es können auch mehrere Substitutionen an subs übergeben werden

gl:=y=m*x+n: subs(x=x1, y=y1, gl); -> y1=m*x1+n; subs(x=1, y=5, gl); -> 5=4+n

sum

Summenfunktion

sum(ausdruck, variable=a .. b);

Berechnung der Summe einer Folge, mit a und b als positive oder negative ganze Zahlen incl. 0; auch 'infinity' möglich

sum((-1)^n*1/n, n=1 .. infinity); -> -ln(2)

unapply

Zuweisung eines Ausdruckes an eine Funktion

unapply(ausdruck, variablen);

Ergebnis in Pfeilnotation

f:=unapply(3*x, x); -> f:=x->3*x

value

Erzwingung der Berechnung träger Ausdrücke

value(ausdruck);

Int(sin(z), z): value(%); -> -cos(z)

MAPLE EINFÜHRUNG - MPLINTRO 04.00a vom 14. Dezember 1998
Author: Alexander F. Walz, alexander.f.walz@t-online.de
Original file location: http://www.math.utsa.edu/mirrors/maple/m8.htm